Acústica & Sistemas de Afinação · TM067
Sistemas de afinação
O mesmo intervalo.
Escolhas que você pode ouvir.
Compare relações com frequências precisas e descubra as escolhas que orientam uma afinação. Comece pelo som: uma terça de 386 cents e outra de 400.
Por que um sistema de afinação precisa fazer compromissos?
Percurso avançado · cerca de 150 minutos em sessões · áudio somente por ação · rota visual disponível
Ouvir a comparação ↓Ouça antes de escolher
A mesma fundamental. Duas terças.
Dó4 fixo: 261,626 Hz. A terça justa usa 5:4; a temperada usa 2^(4/12). Primeiro compare a nota superior isolada; depois sustente o intervalo.
A · justa
386,314 cents
327,032 Hz · nota superior
B · 12-TET
400,000 cents
329,628 Hz · nota superior
Som parado.
As versões compartilham relógio, timbre, ganho e envelope. Alternar A/B conserva a posição temporal. Reiniciar A começa uma nova comparação.
No modelo harmônico, o quinto parcial de Dó e o quarto de Mi diferem por 10,382 Hz na versão temperada, e por 0 Hz na justa. Essa medida descreve este par, sem classificar a beleza do acorde.
OUVIR → MEDIR → ENTENDER O COMPROMISSO.
ENTENDER · uma medida, uma referência, uma escolha
Frequência não é intervalo
Frequência é o número de oscilações por segundo, medido em hertz. Um intervalo compara duas frequências por uma razão: f₂/f₁. 220→330 Hz e 440→660 Hz têm a mesma razão 3:2; as diferenças são 110 e 220 Hz. Portanto, um tamanho intervalar constante não corresponde a um acréscimo fixo em Hz.
Cents expressam essa razão em escala logarítmica: 1200 log₂(f₂/f₁). A razão 2:1 mede 1200 cents. Em 12-TET ideal, cada semitom mede 100 cents, mas cents também descrevem intervalos de qualquer outro sistema. Intervalos sucessivos multiplicam razões e somam cents. As calculadoras da aula fazem a conversão; compreender a relação importa mais que calcular logaritmos de cabeça.
Lá 440 informa uma âncora
Uma referência especifica uma nota registrada e sua frequência. Mudar Lá4 de 440 para 442 Hz e multiplicar todas as outras frequências pelo mesmo fator conserva os intervalos. Escolher 432 ou 415 Hz tampouco determina uma escala justa, pitagórica ou igual. A referência e as relações internas respondem a perguntas diferentes.
No Hero, mantemos Dó4 em 261,626 Hz para isolar a terça. No experimento de referência, usamos o próprio Lá como âncora. Um mapa completo ancorado em Lá440 precisa normalizar suas razões por esse Lá; não pode fixar silenciosamente o Dó de 12-TET e prometer que todo outro sistema terá o mesmo Lá.
Quatro modelos, compromissos declarados
A entonação justa trabalha com razões selecionadas, especialmente relações de inteiros pequenos. Aqui, o exemplo diatônico em Dó usa 1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3 e 15/8. Essa escolha não é a única escala justa possível. Seus graus cromáticos não estão implicitamente definidos, nem todas as relações entre seus graus são automaticamente puras.
A afinação pitagórica deste laboratório deriva de quintas 3:2 e reduções por oitavas 2:1. Quatro quintas, reduzidas por duas oitavas, produzem 81:64, uma terça maior de aproximadamente 407,820 cents. Em doze teclas fixas, manter todos os elos do ciclo como quintas puras entra em conflito com o fechamento.
O temperamento igual de doze divisões da oitava, 12-TET ou 12-EDO neste modelo ideal, usa fator 2^(1/12). Terça maior: 400 cents; quinta: 700. Os padrões intervalares se conservam nas doze transposições. Isso oferece uniformidade, aceitando diferenças relativamente a certas razões puras. Não torna todos os intervalos puros.
O mesotônico escolhido é especificamente o de ¼ de coma sintônica: sua quinta mede 696,578 cents, com razão 5^(1/4). Quatro dessas quintas, reduzidas por duas oitavas, produzem 5:4. No mapa Eb→…→G#, onze elos usam esse gerador e o fechamento G#→Eb fica com aproximadamente 737,637 cents: a quinta do lobo deste mapa. Mudar a cadeia desloca o problema; “mesotônico” não identifica sozinho toda variante histórica.
386,314 · 400 · 407,820
Com a mesma fundamental, a terça 5:4 é mais estreita que a igual, e a pitagórica 81:64 é mais larga. Relativamente aos 400 cents, seus desvios são −13,686 e +7,820 cents. Um sinal só tem significado com referência declarada. “Puro” designa uma razão-alvo neste experimento, sem provar que uma versão será preferida em todo repertório ou timbre.
Uma diferença pequena que se acumula
A quinta 3:2 mede 701,955 cents. A de 12-TET mede 700: cerca de 1,955 cents mais estreita. A diferença isolada pode ser difícil de ouvir. O percurso de doze quintas torna sua consequência matemática visível. Use as medidas como apoio; uma percepção sutil não é requisito para compreender o fechamento.
Flexibilidade tonal tem uma história plural
Bons temperamentos históricos podiam permitir circular entre tonalidades sem tornar todos os passos iguais. “Bem temperado” não identifica necessariamente 12-TET, nem o título de uma obra revela sozinho uma tabela de afinação. Instrumentos, repertórios, práticas e períodos mudaram juntos; a modulação não começou com uma invenção isolada. Esta aula não fornece uma tabela fictícia de “bom temperamento universal”.
OUVIR · comparar com uma referência
Use fones ou caixas em volume confortável. Timbre, envelope, duração e ganho são mantidos entre versões de uma mesma experiência. O botão “juntas” cria uma condição adicional de interferência. A síntese é didática: não pretende imitar todos os instrumentos reais. Se uma diferença não for audível no seu equipamento, investigue as frequências e a régua.
Preparando a experiência de afinação…
VER · a mesma afinação por dez perspectivas
Comparador de sistemas de afinação
Uma âncora em Dó permanece fixa. Trocar o sistema muda a razão-alvo; o ajuste manual permite testar posições intermediárias. O exemplo justo é diatônico em C.
Setas: 0.1 Hz; Shift + seta: 5 Hz. Home/End: limites.
Setas: 0.1 cents; Shift + seta: 5 cents. Home/End: limites.
Alvo: 386,314 cents. Ajuste: 386,314 cents. Desvio do alvo: 0,000 cents. Nota superior: 327,032 Hz.
Som parado.
As versões compartilham relógio, timbre, ganho e envelope. Alternar A/B conserva a posição temporal. Reiniciar A começa uma nova comparação.
Razão ↔ cents ↔ frequência
f₂/f₁ = 1,250000000 · 386,314 cents · 327,032 Hz. Fórmula: cents = 1200 log₂(f₂/f₁).
Razões selecionadas para exploração; não constituem uma única escala universal:
Todas as vistas centrais leem os mesmos valores, sem arredondar o áudio. Referência e enarmonia são experimentos independentes identificados; não alteram silenciosamente o comparador.
Doze quintas não fecham sete oitavas
Setas: 1 passos; Shift + seta: 5 passos. Home/End: limites.
12 × 701,955 = 8.423,460 cents
Nota do percurso: B#. Redução à oitava: razão 1,013643. O resíduo em relação à oitava nominal mais próxima é 23,460 cents.
A distância de fechamento é ampliada numericamente abaixo: (3/2)^12 ÷ 2^7 = 531441/524288 = 1,013643265; 23,460010 cents.
Setas: 1 Hz; Shift + seta: 5 Hz. Home/End: limites.
Som parado.
As versões compartilham relógio, timbre, ganho e envelope. Alternar A/B conserva a posição temporal. Reiniciar A começa uma nova comparação.
Os finais estão normalizados ao registro audível. A diferença de 3,002 Hz depende da referência; os 23,460 cents não dependem dela. B# e C expressam percursos diferentes nesta cadeia estendida.
Outra discrepância: 81/64 ÷ 5/4 = 81/80, a coma sintônica, 21,506 cents. Ela não é a coma pitagórica.
Razões de parciais e relações que não fecham
A razão entre os parciais 5 e 4 é 5/4 = 5/4. Aplicada à referência de 220 Hz, produz 275,000 Hz e 386,314 cents. Uma razão menor que 1 descreve um intervalo descendente. Este experimento faz a ponte; a série harmônica completa pertence à TM068.
Som parado.
As versões compartilham relógio, timbre, ganho e envelope. Alternar A/B conserva a posição temporal. Reiniciar A começa uma nova comparação.
Batimentos têm condições
Duas senóides próximas, como 440 e 441 Hz, produzem um envelope de aproximadamente um batimento por segundo. Com espectros harmônicos, investigamos também pares de parciais próximos. Numa terça 5:4, 5f₁ coincide com 4f₂. Na quinta 3:2, 3f₁ coincide com 2f₂. Isso descreve pares específicos e não uma medida universal de consonância ou qualidade.
O gráfico representa o som que definimos
O modelo harmônico usa seis senóides com amplitudes proporcionais a 1/k, normalizadas por voz. O espectro mostra suas frequências e pesos. A opção de senóide pura tem apenas uma linha por voz. Nenhuma dessas figuras é uma medição por microfone, e instrumentos reais podem ter outros envelopes, amplitudes e até inarmonicidade. Retome a série harmônica em TM068 quando precisar dessa base.
Uma tecla nominal, um valor de afinação
Mi pode receber um offset de −13,686 cents em relação ao Mi de 12-TET sem inventarmos uma nova tecla física. O piano desenhado apresenta teclas nominais e desvios. Um piano acústico real pode usar oitavas esticadas por razões de inarmonicidade; o modelo matemático desta aula não é uma medição de seu instrumento.
Grafia e equivalência dependem do modelo
Na cadeia pitagórica estendida, C# e Db por percursos diferentes podem estar separados por uma coma pitagórica. Em um teclado fixo de doze teclas não divididas, uma tecla mantém a frequência atribuída mesmo quando sua grafia muda. Em 12-TET ideal, a equivalência enarmônica de altura é exata; a notação ainda pode carregar informações funcionais.
PRATICAR · reconstruir relações
Use o ajuste contínuo do comparador para aproximar a terça de um alvo, ouvir a transição sustentada e conferir o desvio. Os números internos permanecem completos; apenas os rótulos são arredondados.
Preparando a experiência de afinação…
Preparando a experiência de afinação…
TESTAR · explicar com evidências
Preparando a experiência de afinação…
O desafio oficial usa o sistema global de maestria: amostra de dez questões conceituais, pelo menos 80% e nenhuma premissa crítica. Não exige discriminar desvios mínimos sem apoio ou calcular logaritmos difíceis. A prática não cria evidência oficial. Como visitante, você pode concluir o desafio da sessão; a maestria persistente exige sua conta.
APLICAR · fazer uma escolha musical
O instrumento faz parte da decisão
Voz e instrumentos sem trastes oferecem ajuste contínuo dentro de limites técnicos. Piano e instrumentos de alturas fixas oferecem um mapa com o qual o ensemble negocia. Violão envolve trastes, cordas, ação e possibilidades de execução. Nenhuma regra manda todo cantor abaixar toda terça exatamente 14 cents, e violinistas podem trabalhar com referências temperadas.
Priorizar relações em conjunto
Escute o baixo, identifique o papel da nota e declare o alvo. Uma nota que funciona como terça pode virar fundamental ou quinta em seguida. Ajustes podem favorecer uma relação e modificar outra. Registre por que priorizou estabilidade com um instrumento fixo, pureza de um acorde sustentado ou continuidade da passagem.
Mapa fixo não é afinação adaptativa
No exemplo diatônico justo de C, D=9/8 e A=5/3; entre eles, A/D=40/27, diferente de 3/2. O comparador de progressões mantém um mapa para tornar esse tipo de compromisso verificável. Uma prática adaptativa pode redistribuir frequências segundo relações locais, mas precisa declarar suas decisões; não é uma propriedade automática do botão “justa”.
Preparando a experiência de afinação…
Preparando a experiência de afinação…
Perguntas para levar à prática musical
440 e 880 Hz formam qual relação?
Razão 2:1, uma oitava.
220→330 e 440→660 têm o mesmo intervalo?
Sim: ambos têm razão 3:2.
660/440 representa o quê?
A razão do som superior para o inferior.
Abaixo de 440 Hz por uma quinta pura: qual operação?
Dividir 440 por 3/2.
Quantos cents mede a razão 2:1?
1200 cents.
Dois intervalos sucessivos de 100 cents somam quanto?
200 cents.
Mudar Lá de 440 para 442, mantendo todas as razões, muda o quê?
A referência absoluta.
Duas orquestras em Lá 440 podem usar escolhas intervalares diferentes?
Sim; referência e afinação intervalar são decisões distintas.
Um semitom de 100 cents acima de 880 Hz tem incremento maior que acima de 220 Hz?
Sim, pois o fator é igual e a base é maior.
Uma oitava acima de 300 Hz resulta em quê?
600 Hz.
A terça 5:4 é um exemplo de qual modelo?
Uma terça maior justa.
Uma tabela diatônica justa especifica todos os cromatismos possíveis?
Não; escolhas cromáticas adicionais precisam ser declaradas.
Com fundamental de 400 Hz, onde fica a terça 5:4?
500 Hz.
Referência: 5:4 ≈ 386,314 cents. Qual é a terça justa?
386,314 cents.
Qual é o gerador deste modelo pitagórico?
A quinta 3:2.
Quatro quintas 3:2 reduzidas por duas oitavas dão qual terça?
81:64.
Qual fator corresponde a um semitom em 12-TET?
2^(1/12).
Qual é a quinta de sete semitons em 12-TET?
700 cents.
Referências: justa 386,314; igual 400; pitagórica 407,820 cents. Qual é a mais estreita?
A justa 5:4.
Com a mesma fundamental, qual das três terças tem a nota superior mais alta?
A pitagórica 81:64.
3:2 ≈ 701,955 cents. A quinta de 12-TET é mais larga ou estreita?
Mais estreita por aproximadamente 1,955 cents.
Se a diferença é difícil de ouvir, qual apoio é válido?
Comparar valores e parciais com referência visual.
Qual expressão compara doze quintas puras com sete oitavas?
(3/2)^12 dividido por 2^7.
A razão 531441/524288 é maior que 1. O percurso de quintas termina onde?
Acima do fechamento em sete oitavas.
(81/64) dividido por (5/4) resulta em quê?
81/80.
Qual diferença a coma sintônica relaciona neste exemplo?
Terça pitagórica e terça justa.
Qual gerador é adotado no mesotônico desta aula?
5^(1/4), aproximadamente 696,578 cents.
Quatro quintas 5^(1/4), reduzidas por duas oitavas, dão qual razão?
5/4.
Um bom temperamento histórico precisa ter todos os semitons iguais?
Não; pode permitir tonalidades com diferenças intervalares.
O título Cravo Bem Temperado basta para identificar uma tabela numérica única?
Não; são necessárias evidências históricas adicionais.
440 e 441 Hz, duas senóides próximas, geram quantos batimentos por segundo?
1 Hz.
Aumentar 441 para 442 Hz, mantendo 440, faz o envelope oscilar como?
Duas vezes por segundo.
Na terça 5:4, quais parciais se alinham neste modelo?
O quinto da fundamental e o quarto da terça.
Se raiz=400 Hz e terça=500 Hz, quanto é |5r−4t|?
0 Hz para esse par de parciais.
Uma linha em 3f no gráfico representa o quê?
O terceiro parcial harmônico do modelo.
A legenda “modelo harmônico” informa qual limite?
Os parciais foram definidos, não medidos por microfone.
Para comparar terças, o que deve mudar primeiro?
Só a razão da terça, mantendo a fundamental.
Ouvir as versões juntas serve para quê?
Investigar interferências, reconhecendo que é outra condição de escuta.
Na cadeia pitagórica estendida, C# (k=7) e Db (k=−5) podem diferir?
Sim; a diferença é uma coma pitagórica.
Em 12-TET ideal, C# e Db na mesma oitava têm qual relação?
A mesma frequência.
O Mi nominal pode receber −13,686 cents sem mudar sua identidade de tecla na representação?
Sim; o offset descreve a afinação atribuída.
O teclado da aula representa o quê?
Notas nominais e offsets de um modelo.
Uma voz sustentada pode ajustar continuamente sua frequência?
Sim, dentro de limites técnicos e do contexto.
Cantar com piano torna qual informação relevante?
A referência e a afinação efetiva do piano.
Trastes convencionais aproximam qual organização nominal?
Divisões iguais da oitava, com limitações físicas.
Afinação das cordas soltas garante pureza de todo acorde?
Não; trastes, ação e contexto afetam o resultado.
Antes de comparar ajustes do acorde, qual referência declarar?
Uma fundamental e o modelo-alvo.
Se o baixo muda de função, o que fazer com as outras vozes?
Reavaliar relações em contexto.
No exemplo diatônico em C, D=9/8 e A=5/3. A razão A/D é qual?
40/27, não exatamente 3/2.
Por que o comparador conserva um mapa em toda a progressão?
Para expor seus compromissos sem retunar cada acorde silenciosamente.
+7,820 cents para a terça pitagórica está referido a quê aqui?
À terça de 400 cents de 12-TET.
A mesma terça pode ter desvios diferentes conforme o alvo?
Sim; desvio é valor menos referência declarada.
O afinador permite 386,3 e 400 cents. Isso significa o quê?
Variação contínua de um intervalo nominal.
Qual operação mantém o som sustentado ao ajustar?
Atualizar suavemente a frequência dos osciladores existentes.
Como abordar uma diferença auditiva muito pequena?
Usar repetição, referência e dados visuais.
A avaliação conceitual deve exigir ouvido absoluto?
Não; relações e modelos podem ser demonstrados com evidências.
(5/4)^3 resulta em 125/64. Comparado com 2, fica onde?
Abaixo de uma oitava.
Uma oitava ideal 2:1 mede quanto?
1200 cents por definição.
Como estudar sistemas históricos?
Relacionando objetivos, instrumentos e repertórios.
Uma vantagem de 12-TET ideal para transposição é qual?
Conservar o padrão intervalar nas doze transposições.
Para comparar C–F–G–C entre sistemas, o que conservar?
Notas nominais, ritmo, registro, timbre e âncora.
O que registrar junto à criação?
Sistema, frequências, referência e justificativa.
Qual é a tríade justa usada aqui?
1 : 5/4 : 3/2.
No alvo de 12-TET, quais são terça e quinta?
400 e 700 cents.
Com piano e voz, qual limitação considerar?
O mapa de afinação efetivo do piano.
Em três vozes, por que ouvir raiz+quinta separadamente?
Para avaliar uma relação sem confundi-la com a terça.
“A terça mede 386,314 cents” é qual tipo de afirmação?
Uma medida no modelo declarado.
“Prefiro esta versão” precisa virar regra universal?
Não; preferência e relação medida são camadas distintas.
Por que um sistema precisa fazer escolhas?
Relações puras selecionadas e fechamentos finitos podem ser incompatíveis.
Qual é uma defesa musical de 12-TET?
Padrão transponível uniforme, aceitando desvios de razões puras.